Úsudky (Czech only)

Racionale

Úsudek je schopnost řešit úvahou jednoduché problémy, které by při matematickém zápisu měly charakter rovnic pro neznámé veličiny. Jedná se většinou o úměry, přímé i nepřímé, a schopnost pracovat s nimi v mysli s cílem nalézt konkrétní řešení úlohy a rychle porovnávát veličiny. Souvisí se schopností vyvozování logických závěrů na základě daných faktů a schopností zkoumat pravdivostní hodnotu jednoduchých i složených výroků.

Vedle přirozené schopnosti logického uvažování nejsou třeba žádné specifické znalosti a dovednosti. Logické úlohy nevyžadují znalost výrokové logiky, jsou řešitelné prostou úvahou, nicméně znalost základů formální logiky napomůže jejich efektivnímu řešení. Proto dále následuje nejprve stručné uvedení do této problematiky.

Stručný úvod do logiky

Úlohy z Úsudků se opírají o základní skutečnosti zafixované ve výrokové a predikátové logice. Logika jako taková je věda o vyplývání, tedy o určitém vztahu mezi premisami (či předpoklady; P1, ..., Pn) a závěrem (či konkluzí; Z) úsudků. Obecný tvar úsudku je tento:

P1
P2
 :
Pn
Z

V sekci TSP Úsudky jsou úlohy na určení, zda nějaká věta vyplývá z vět daných, což vlastně znamená, že ona určovaná věta tvoří s větami danými korektní (platný) úsudek. Korektnost úsudku (resp. vyplývání mezi větami) je spjato s pravdivostí vět. S pravdivostí vět jsou spjaty také vztahy mezi dvojicemi vět, jimiž jsou ekvivalence a (vzájemná) negace. V sekci TSP Úsudky jsou pak úlohy na určení, která věta je negací věty dané, popř. která je ekvivalentní větě dané. Příklady s větou ekvivalentní větě dané přitom můžeme chápat jako případy úsudků s jednou premisou. Příklady s negací věty dané můžeme chápat jako případy úsudků s jednou premisou a negací závěru.

Ozřejmit příslušné termíny (ekvivalence či negace vět, korektnost úsudku, vyplývání) je posláním tohoto dokumentu (ozřejmovány jsou ovšem i termíny, které ve formulacích úloh TSP užívány nejsou.)

Vyplývání. Říkáme, že věta Z vyplývá z vět P1, ..., Pn právě tehdy, když platí, že je-li za určitých okolností Z pravdivá, pak jsou za týchž okolností pravdivé i věty P1, ..., Pn. Pokud Z vyplývá z vět P1, ..., Pn, tak úsudek je (logicky) korektní (Z lze korektně odvodit z P1, ..., Pn), či platný.

Všimněme si, že z definice vyplývání plyne, že pokud jsou věty P1, ..., Pn pravdivé, tak věta Z je za těchto okolností také pravdivá. Logicky korektní úsudek je tedy takový, že pravdivost premis se přenese na závěr.

Na druhou stranu si všimněme, že z definice vyplývání (a při přijetí určitých zjednodušujících předpokladů) plyne, že Z nevyplývá z vět P1, ..., Pn (a tedy úsudek není korektní), pokud jsou uvažovatelné takové okolnosti, kdy P1, ..., Pn jsou pravdivé, ale Z je za těchto okolností nepravdivý. K prokázání nekorektnosti nějakého úsudku tedy stačí poukázat na takovéto okolnosti.

V definici jsme nespecifikovali, co jsou ony okolnosti. Můžeme si pod nimi představit aktuální či potencionální stavy světa. Například věta "B. Obama je prezident USA" je pravdivá, pokud aktuálním je ten stav světa, v němž B. Obama je prezidentem USA. Podotkněme, že logika se nezabývá tím, zda Obama skutečně je prezidentem USA. Pro logiku je podstatné, že je tu okolnost, kdy G. W. Bush je prezidentem USA, a okolnost, kdy prezidentem USA není. V souvislosti s větou se někdy těmto stavům světa, okolnostem, říká pravdivostní podmínky určité věty.

Pro úspornost se platnost stavu věcí, či lépe pravdivost, značí 1, nepravdivost se značí 0. V logice předpokládané v rámci TSP uvažujeme, že každá jednoduchá věta, i každá věta složená z takovýchto jednoduchých vět, je pravdivá, anebo nepravdivá. Větám, které jsou pravdivé nebo nepravdivé, se říká výroky.

Výroková logika je založena na zohlednění předpokladu, že složený výrok je pravdivý či nepravdivý v závislosti na tom, jaká je "povaha" spojky, která spojuje dané výroky. Uvažujme pro příklad dva jednouché výroky p a q. Každý z nich je pravdivý či nepravdivý. Vzájemné kombinace jejich pravdivostí a nepravdivostí jsou celkem čtyři. Např. česká (gramatická) spojka "a" (popř. "a zároveň") je ve výrokové logice chápána jako tzv. konjunkce (obvykle značena "∧"). Spojení výroku p s výrokem q pomocí konjunkce, tedy složený výrok "p a zároveň q", je pravdivé pouze pro tu z kombinací pravdivostí pro p a q, kdy jsou oba tyto výroky pravdivé; ve všech třech zbylých případech je výrok "p a zároveň q" nepravdivý. Konjunkce apod. jsou zvány výrokové spojky. Uvědomme si tedy, že tu jsou (české) gramatické spojky jako např. "a zároveň", "jestliže, pak", které se v logice snažíme vystihnout výrokovými (výrokově-logickými) spojkami. Je třeba poznamenat, že ne ve všech větných kontextech uživatel češtiny rozumí nějaké gramatické spojce tak, jak to vysvětluje výroková logika; od tohoto určitého rozdílu mezi češtinou a výrokovou logikou (tento rozdíl je studován v odborném prostředí) je v úkolech TSP abstrahováno (není to zohledňováno).

Predikátová logika je založena na předpokladu, že výrok jako "Alík je pes" není prostě jaksi přímo pravdivý či nepravdivý, ale že tato pravdivost je podmíněna tím, zda Alík patří do množiny psů. Výrazu "pes" (resp. "být pes") se říká predikát. Mj. predikát poznáme tak, že věcí, na kterou je tento predikát smysluplně aplikovatelný, je množina (u vlastních jmen pro jednoduchost uvažujeme vždy jednoho nositele, ignorujeme tedy to, že Alíků může být množina). Pozor: v predikátové logice ignorujeme gramatický rozdíl mezi singulárem a plurálem: výrazy jako "pes", "psi" jsou pojímány jako jeden a týž predikát značící určitou množinu věcí. Další příklady predikátů: "mít křídla" (týká se množiny okřídlených), "bydlet ve městě, v němž se narodil K. Gödel" (týká se množiny jistých lidí). Predikátová logika je s to ve výrocích rozpoznat ještě kvantifikátory ("všichni", resp. "každý", "kdokoli"; "někteří", resp. "někdo", "alespoň jeden").

Poznatky z výrokové logiky jsou v predikátové logice zachovány, nicméně predikátová logika je, co se týče určování pravdivostních podmínek, "podrobnější", neboť analyzuje i jednoduché výroky. Typický příklad výroků tvoří věty jako "Všichni psi jsou roztomilí", přičemž ten je chápán vlastně ve smyslu, že množina věcí, které jsou psy (to však neznamená, že nějací psi musí existovat), je podmnožinou věcí, které jsou roztomilé. Čtyři nejčastější druhy takovýchto výroků a jejich vzájemné vztahy jsou zafixovány v tzv. logickém čtverci. Ze tří výroků známých z logického čtverce se skládají typické příklady úsudků, které nazýváme (kategorické) sylogismy.

Viděli jsme, že pro vyplývání je podstatná pravdivost. Přibereme nyní další důležité pojmy.

Ekvivalence. Věta V1 je ekvivalentní větě V2 právě tehdy, když V1 je pravdivá právě za těch okolností, za nichž je pravdivá V2. Příkladem dvojic ekvivalentních vět jsou: "Prší" - "Není pravda (neplatí), že neprší", "Jestliže prší, tak Karel má auto" - "Neprší nebo Karel má auto", "Všichni psi jsou roztomilí" - "Není pravda, že někteří psi nejsou roztomilí". Věty, které jsou k sobě vzájemně ekvivalentní, tedy mají shodné pravdivostní podmínky.

Negací věty V1, jejím "správným opakem" (asi nejpřesnější vyjádření: ekvivalentem negace), se rozumí věta V2, která je pravdivá právě za těch okolností, za nichž je věta V1 nepravdivá, a je nepravdivá právě za těch okolností, za nichž je věta V1 pravdivá. Příkladem dvojic vět, které jsou ve vzájemném vztahu negace, jsou: "Prší" - "Neprší" (či "Není pravda, že prší"; jde vlastně o přímou negaci), "Karel má auto"-"Karel nemá auto" (opět přímá negace), "Prší a Karel má auto" - "Neprší nebo Karel nemá auto" (tato druhá věta je ekvivalentní přímé negaci, jíž je věta "Není pravda, že prší a Karel má auto"). Jiným příkladem takové dvojice je "Žádní psi nejsou oblíbení" - "Někteří psi jsou oblíbení"; ta prvá z těchto vět je pravdivá, pokud neexistuje ani jeden pes, který je roztomilý, kdežto ta druhá je pravdivá tehdy, když alespoň jeden takový pes existuje. Uvědomme si, že správnou negací věty "Všichni psi jsou oblíbení" je "Někteří psi nejsou oblíbení", nikoli věta "Žádní psi nejsou oblíbení"; vysvětleme si to tak, že kdybychom chtěli prokázat nepravdivost věty "Všichni psi jsou oblíbení", stačilo by poukázat na jediného psa, který oblíbený není.

Poznamenejme, že přirozený jazyk, jakým je třeba čeština, je mnohonásobně pestřejší než logické systémy, jimiž jsou výroková či predikátová logika. Přes svoji jednoduchost jsou však tyto nástroje užitečné pro zachycení toho nejdůležitějšího pro korektnost úsudků. Řečeno z poněkud jiného úhlu: v příkladech v TSP jsou pomíjeny všechny myslitelné souvislosti, jemná odstínění významu, jež člověka znalého češtiny mohou napadnout. Pozornost je tedy zaměřena jen na základní aspekty toho, co věty říkají, aspekty, které jsou relevantní pro určení vyplývání (typické ekvivalence, negace).

Dále: logika (podobně jako matematika) se nezabývá stavem světa, proto každý výrok z příkladů je pro nás pravdivý či nepravdivý, přičemž obě možnosti mají pro nás shodnou váhu. A to navzdory tomu, že doopravdy, ve skutečnosti (v aktuálním stavu světa), platí jen jediná z těchto možností. Toto má dosah i pro určení korektnosti úsudků - je-li úsudek logicky korektní, není nezbytné, aby byl pravdivý jeho závěr. Logická korektnost úsudku tedy spočívá v tom, že není myslitelně realizovatelná taková kombinace, kdy premisy úsudku jsou pravdivé a závěr přitom nepravdivý.

Ještě jinak k pravdivosti a úsudkům. Když se zaobíráme nějakým úsudkem, tak se soustředíme pouze na to, co dané věty říkají. Odhlížíme tedy od různých skutečností, které víme, ale přitom v těch větách řečeny nejsou. Například věta "Všichni psi jsou oblíbení" neříká nic o tom, zda nějací psi skutečně existují - ačkoli my víme, že ano; tato věta je z hlediska logiky pravdivá či nepravdivá (obě možnosti jsou rovnocenné) - je tedy lhostejné, zda jsme třeba přesvědčeni, že je aktuálně nepochybně pravdivá.

Materiálů, z nichž se dají studovat poznatky fixované ve výrokové či predikátové logice, a jejichž znalost lze výhodně uplatnit při plnění úloh TSP Úsudky, je dostupná řada (leccos lze dohledat i na internetu). Okruhy poznatků, které jsou uplatňovány v rámci TSP, se týkají:

  1. výrokových spojek (někdy nazývaných výrokově-logické spojky, propoziční spojky, logické funkce, apod.);
  2. transformačních tautologií (ty ukazují vzájemnou převoditelnost, čili vlastně ekvivalenci, výroků s jednou spojkou na výroky s jinou spojkou (tautologie je věta, resp. formule, která je pravdivá za všech okolností); některé z těchto transformačních tautologií obsahují jednu část negovánu, takže je uplatňujeme při negacích výroků); tautologiím se někdy říká (logické) zákony;
  3. logického čtverce (ten ukazuje zvláště negace základních čtyř jednoduchých výroků s predikáty a kvantifikátory);
  4. De Morganových zákonů pro predikátovou logiku (ty ukazují ekvivalence, potažmo pak negace, výroků s predikáty a kvantifikátory);
  5. sylogismů (a metod grafického řešení příkladů na vyplývání výroků s predikáty a kvantifikátory pomocí Vennových diagramů);
  6. způsobu řešení úloh na vyplývání na úrovni výrokové logiky.

Typy položek:

Poznámka: Některé prohlížeče (například Internet Explorer) mohou mít potíže se zobrazením některých symbolů používaných ve výrokové logice. Pro korektní zobrazení textů v subtestu Úsudky proto doporučujeme prohlížeče Firefox, Opera, či Google Chrome.


Pro usnadnění orientace v jednotlivých úlohách jsme přidali tyto navigační prvky:

Correct Pokud ikonka po kliknutí zabliká, vybrali jste správnou odpověď!

Wrong V případě, že jste vybrali špatnou odpověď, ikonka se odmítavě zatřese.

Hide Velmi efektivním způsobem řešení úlohy je eliminace nesprávných odpovědí. Pokud některou odpověď identifikujete jako nesprávnou, můžete ji schovat.

Show Tato ikonka vrátí všechny schované odpovědi a zároveň zobrazí návod na vyřešení úlohy.

 
 
top